有哪些具有特殊性质的数字?

2019-07-12 14:20 阅读 68 次 评论 0 条
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有哪些具有特殊性质的数字?

我来介绍一个有趣的数字:163,不要小看这个数字,在五位数中运用相当大。

这个数字显然是个无理数。但如果我们把它的值算出来:小数点后有12个9,确实非常接近一个整数。由于这个神奇的性质,被称为拉马努金常数。

这不是巧合,这是可以被解释的。为了说明这不是巧合,我们先来复习一下质因数分解=w=对于每一个大于1的正整数,我们都可以把它唯一地分解为若干质数(素数)的乘积,比如:正整数的唯一分解性质被称为算术基本定理。

然而有时候只考虑正整数并不能让数学家们满意,比如解勾股方程——高斯注意到,如果想要找的整数解,在有理数的基础上加入一个平方等于-1的数会方便很多,因为这样我们就可以把等式写成,等式两边都变成了乘法。在有理数中加入以后,我们的整数集合也跟着得到了扩充,变成了高斯整数集合,即所有形如的数的集合为整数。高斯整数与正整数一样,也具有唯一分解性质,即每一个高斯整数都可以被唯一地被分解为不可再分的数的乘积。然而唯一分解性质并不是任何时候都有的。如果我们在有理数中加入,相应的整数集合就不具备这个性质,比如:这是两种不同的分解为不可再分的数方法。那么加入哪些数,扩充了的整数集合依然可以保持唯一分解性质呢?高斯做了如下猜想:满足在有理数中加入后,扩充的整数集合依然具有唯一分解性质这个条件的无平方因子的正整数只有。

这就是数论领域著名的高斯类数猜想的一部分,该部分于1967年得到证明。

所谓类数,就是衡量扩充的整数集合离唯一分解性质到底有多远的正整数。如果类数是1,那么我们就可以唯一分解;类数越大,这个集合离唯一分解性质就越远。高斯还猜想:如果加入的不是而是,那么可以保持整数集合的唯一分解性质的无平方因子的正整数有无穷多个。

这个猜想至今没有得到证明或推翻。这九个数被称为Heegner数,因为Heegner最先给出了证明,所以当他完成证明时,并没有引起数学界的重视。后来Stark证明了这个猜想,回过头看Heegner的证明,发现他的证明几乎没什么问题,只需要做一点点小修正就好了。163这个数字又出现了:最后一个Heegner数。所以拉马努金常数的神奇性质跟这个有关。

为了看出到底有没有关系,我们不妨把163换成较小的Heegner数:虽然没有那么惊人,但是它们离整数也相当近。这样看来似乎就不是巧合了,没错,拉马努金常数的神奇性质与Heegner数直接相关。可是一个奇怪的数接近整数跟扩充的整数集合是否具有唯一分解性质有什么关系呢?但是它们之间确实有内在的联系,而且直接相关。

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